Análisis Numérico

Ingeniería de software y computación

Ph.D. Pablo Eduardo Caicedo Rodríguez

2023-08-01

Análisis Numérico

El Profesor

Educación

Doctor en Ciencias de la Electrónica. Magíster en Ingeniería Electrónica y Telecomunicaciones Ingeniero en Electrónica y Telecomunicaciones

Intereses

Biomecánica, Dispositivos para el análisis de movimiento humano, ciencia de los datos.

Desempeño

Profesor de la Facultad de Ingeniería

Invest. Línea de Percep. Avanz. y Robótica – GITA

Director Grupo de Investigación MEDES.

Director del laboratorio de datos de la Uniautonoma.

Contacto:

pablo.caicedo.r@uniautonoma.edu.co

Contenido del curso

Introducción al análisis numérico
Solución de ecuaciones
Interpolación y aproximaciones lineales
Diferenciación e integración numérica
Problemas de valor inicial para solución de ecuaciones diferenciales ordinarias

Evaluación

Comprensión de lectura (Inglés) (10%)
Consigna 001. Solución de ecuaciones - Interpolación y aproximaciones lineales (25%)
Consigna 002. Diferenciación e integración numérica (25%)
Consigna 003. Proyecto Final (40%)

Recursos

Clases

Lunes, Martes, Miércoles y Jueves 9:00 – 11:00 Sala 504

Sala de teams

Software

Interpretes: Python, R, Latex(TEXLive), Anaconda.

IDE: Visual Studio Code, Google Colaboratory (R, Python)

Librerías Numpy.

Seguimiento de Aprendizaje: Moodle

Bibliografía

Angarita, A. (2013). Apuntes De Análisis Numérico. Departamento de Ciencias Básicas - Unidades Tecnológicas de Santander.
Burden, R. L., Faires, J. D., & Burden, A. M. (2016). Análisis Numérico (Tenth edition). Cengage Learning.
Chapra, S. C., Canale, R. P., & Del Valle Sotelo, J. C. (2008). Métodos numéricos para ingenieros (5a ed). McGraw-Hill.
Arévalo Ovalle, D., Bernal Yermanos, M. Á., & Posada Restrepo, J. A. (2021). Métodos numéricos con Python. Editorial Politécnico Grancolombiano.
Corriou, J.-P. (2021). Numerical Methods and Optimization: Theory and Practice for Engineers (Vol. 187). Springer International Publishing. https://doi.org/10.1007/978-3-030-89366-8
Gilat, A., & Subramaniam, V. (2014). Numerical methods for engineers and scientists: An introduction with applications using matlab (Third edition). John Wiley & Sons, Inc.
Miles, W. (2023). Numerical Methods with Python: For the sciences (1st ed.). De Gruyter.

Introducción al análisis numérico

Errores y aproximaciones

Las cantidades que se trabajan en la ingeniería tienen dos orígenes diferentes:

Mediciones sobre procesos físicos
Resultados de procesos matemáticos.

Primer Origen

Un proceso de medición nunca arroja el valor verdadero de la medida, pues las mediciones se hacen con instrumentos que se encuentran limitados

Segundo Origen

Las operaciones aritméticas usualmente se ejecutan en un computador o una calculadora, y la limitación de espacio de estos dispositivos lleva a que algunas cifras no se puedan representar correctamente.

Errores y aproximaciones

Importante

Los errores debido a estos orígenes es de naturaleza acumulativa, por ejemplo si se operan medidas reales con un procesador limitado la incertidumbre aumentará.

Importante

Muchas veces resulta imposible siquiera expresar en términos algebraicos soluciones a ciertas ecuaciones, inclusive polinomiales.

Siempre…

Con lo anterior, es claro que el trabajo de ingeniería y ciencias se encuentra inevitablemente sujeto a error, y por tanto el tema de cuantificación de errores es de atención prioritaria en dichas áreas.

Errores y aproximaciones

Error Absoluto

\[\varepsilon = \left| x - \bar{x} \right|\]

Error relativo

\[\varepsilon_{\gamma} = \frac{\left| x - \bar{x} \right|}{\left| x \right|}\]

Error de aproximación

\[\varepsilon_{ap} = {\left| x_{actual} - x_{anterior} \right|}\]

Cifras significativas

Considere…

Una región rectangular que tiene 20.5 cm de largo por 14.3 cm de ancho. Se requiere la medida del área de la región en centímetros cuadrados.

Diferentes personas reportarían sin dudar los primeros dos dígitos, a saber el dos y el cero, que en este contexto se llamarán dígitos confiables.
Se entenderá que esta medida en realidad es una cifra entre 20.5 cm y 20.6 cm con el tercer dígito llamado dígito de incertidumbre.
La cantidad de dígitos confiables más otro con incertidumbre, son las cifras significativas de una medición.

Cifras significativas

¿Que pasa con las operaciones?

Cuando se operen números con cifras significativas, el resultado tendrá tantas cifras significativas como el factor con menos cifras significativas.

Hablando de errores

Con el número de cifras significativas $\left(n\right)$, se puede calcular la cota del error absoluto:

\[\varepsilon = \left( 0.5\times10^{2-n} \right) \%\]

Que pasa en los computadores?

\[\left(-1\right)^{s}2^{c-1023}\left(1+f\right)\]

Ejemplos de conversión de IEEE 754 a decimal

Dos numeros “diferentes”

0 10000000011 1011100100010000000000000000000000000000000000000000
0 10000000011 1011100100010000000000000000000000000000000000000001

El bit más izquierdo en ambos casos es “0”, por lo tanto en los dos casos los numéros son positivos.

Ejemplos de conversión de IEEE 754 a decimal

Dos numeros “diferentes”

0 10000000011 1011100100010000000000000000000000000000000000000000
0 10000000011 1011100100010000000000000000000000000000000000000001

En el ambos casos el exponente es 10000000011 por lo tanto el valor c se calcula así:

\[ c = 1 \cdot 2^{10} + 0 \cdot 2^{9} + \dots +1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 1024+2+1=1027\]

Ejemplos de conversión de IEEE 754 a decimal

Dos numeros “diferentes”

0 10000000011 1011100100010000000000000000000000000000000000000000
0 10000000011 1011100100010000000000000000000000000000000000000001

La mantisa para el primer caso es:

\[1011100100010000000000000000000000000000000000000000\] \[ f = 1 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-3} + 1\cdot 2^{-4} +1 \cdot 2^{-5} + 1 \cdot 2^{-8} + 1 \cdot 2^{-12} \] \[ f = 0.5 + 0.125 + 0.0625 + 0.03125 + 0.00390625 + 0.000244140625\] \[ f= 0.7229003906250000000000\]

Ejemplos de conversión de IEEE 754 a decimal

Dos numeros “diferentes”

0 10000000011 1011100100010000000000000000000000000000000000000000
0 10000000011 1011100100010000000000000000000000000000000000000001

La mantisa para el segundo caso es:

\[1011100100010000000000000000000000000000000000000001\] \[ f = 1 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-3} + 1\cdot 2^{-4} +1 \cdot 2^{-5} + 1 \cdot 2^{-8} + 1 \cdot 2^{-12} + 1 \cdot 2^{-52}\] \[ f = 0.5 + 0.125 + 0.0625 + 0.03125 + 0.00390625 + 0.000244140625 + 2,220476049250313e-16\] \[f = 0.7229003906250002220446\]

Los números "más grande" y "más pequeño"

Importante

Más grande: Sucede cuando $s=0$, $c=2046$, $f=1-2^{-52}$
Más pequeño: Sucede cuando $s=0$, $c=1$, $f=0$

Error de truncamiento

Importante

Dentro de los números reales $\left( \mathbb{R} \right)$, existen dos conjuntos de números claramente diferenciables, los racionales $\left( \mathbb{Q} \right)$ y los irracionales $\left( \mathbb{I} \right)$. Los primeros son facilmente representables en un sistema computacional; sin embargo los segundo debido a que no pueden ser representados con un número finito de digitos deben ser cortados a unas cuantas cifras.

Nota

Sin embargo, hay formas metódicas de obtener aproximaciones tan buenas como se quieran a estos números. Como por ejemplo las conocidas series de Taylor

\[f\left( x \right) = f\left( c \right) + \dot{f}\left( c \right)\left( x-c \right) + \frac{\ddot{f}\left( c \right)}{2!}\left( x-c \right)^2 + \frac{\dddot{f}\left( c \right)}{3!}\left( x-c \right)^3 + \dots + \frac{f^{\left(n\right)}\left( c \right)}{n!}\left( x-c \right)^n\]

Todas las derivadas deben existir.
Función y derivadas en el intervalo $\left(x,c\right)$

Error de truncamiento

Forma de Langrange

\[R_n\left( x \right) = \frac{f^{\left( n+1 \right)}\left( \xi \right)}{\left( n+1 \right)!}\left( x-c \right)^{n+1}\]

Forma Integral

\[R_n\left( x \right) = \int_{c}^{x}{\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(t\right)}{n!}\left(x-t\right)^{n}dt}\]

Ejemplo de Error de truncamiento

Recordemos

Calcular ln(1.1), centrado en c=1, y orden 4

\[f\left(x\right)=ln\left(x\right)\]

\[\dot{f}\left(x\right) = \frac{1}{x}\]

\[\ddot{f}\left(x\right) = -\frac{1}{x^2}\]

\[\dddot{f}\left(x\right) = \frac{2}{x^3}\]

\[\ddddot{f}\left(x\right) = -\frac{6}{x^4}\]

Ejemplo de Error de truncamiento

Calcular ln(1.1), centrado en c=1, y orden 4

\[f\left(1.1\right)=ln\left(1\right)+\frac{1}{1.1}\left(1.1 - 1\right)-\frac{1}{2\cdot 1.1^2}\left(1.1-1\right)^2+\frac{2}{6\cdot 1.1^3}\left(1.1 - 1\right)^3 - \frac{6}{24\cdot 1.1^4}\left(1.1 - 1\right)^4\]

def taylor_expansion_ln(x):
    return ((1/x)*(x-1))-((1/(2*(x**2)))*(x-1)**2)+ ((2/(6*(x**3)))*(x-1)**3)-((6/(24*(x**4)))*(x-1)**4)

print(taylor_expansion_ln(1.1))

0.08701022243471537

Ejemplo de Error de truncamiento

Recordemos

\[R_n\left( x \right) = \frac{f^{\left( n+1 \right)}\left( \xi \right)}{\left( n+1 \right)!}\left( x-c \right)^{n+1}\]

Error en forma de lagrange

\[R_4\left(1.1\right) = \frac{24\xi^{-5}}{5!}\left(1.1 - 1\right)^{5}\]

def error_taylor_expansion(x):
    return ((24*x**(-5))/120)*(0.1**5)

Ejemplo de Error de truncamiento

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

v = np.arange(1,1.1,0.0001)
error = error_taylor_expansion(v)
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(v,error)
ax.set_xlabel("Valor")
ax.set_ylabel("Error de truncamiento")
plt.show()

Ejemplo de Error de truncamiento

Calcular ln(1.1), centrado en c=1, y orden 4

\[f\left(1.1\right)=ln\left(1\right)+\frac{1}{1}\left(1.1 - 1\right)-\frac{1}{2\cdot 1^2}\left(1.1-1\right)^2+\frac{2}{6\cdot 1^3}\left(1.1 - 1\right)^3 - \frac{6}{24\cdot 1^4}\left(1.1 - 1\right)^4\]

def taylor_expansion_ln(x):
    return ((1/1)*(x-1))-((1/(2*(1**2)))*(x-1)**2)+ ((2/(6*(1**3)))*(x-1)**3)-((6/(24*(1**4)))*(x-1)**4)

print(taylor_expansion_ln(1.1))

0.09530833333333343

Error de redondeo

Supongamos…

\[x=\frac{5}{7}\] \[y = \frac{1}{3}\]

Calcular x+y utilizando aritmética de digitos finitos, utilizando 6 cifras significativas, considerando:
- Método de truncamiento
- Método de redondeo
Calcular el error para todos los casos anteriores

Error de redondeo

print(5.0/7.0)

0.7142857142857143

Utilizando redondeo…

\[x=0.714286\times10^0\]

print(1.0/3.0)

0.3333333333333333

Utilizando redondeo…

\[x=0.333333\times10^0\]

\[x+y=0.104762\times10^{1}\]

print( "Error absoluto:", abs(((22.0/21.0) - (1.04762))) )
print( "Error relativo:", abs(((22.0/21.0) - (1.04762))/((22.0/21.0))) )

Error absoluto: 9.523809523237503e-07
Error relativo: 9.090909090363071e-07

Error de redondeo

print(5.0/7.0)

0.7142857142857143

Utilizando truncamiento…

\[x=0.714285\times10^0\]

print(1.0/3.0)

0.3333333333333333

Utilizando truncamiento…

\[x=0.333333\times10^0\]

\[x+y=0.104761\times10^{1}\]

print( "Error absoluto:", abs(((22.0/21.0) - (1.04761))) )
print( "Error relativo:", abs(((22.0/21.0) - (1.04761))/((22.0/21.0))) )

Error absoluto: 9.047619047741762e-06
Error relativo: 8.636363636480771e-06

Búsqueda de "raíces" de una función

Definicón

Las raíces o ceros de una función $f$ son aquellos valores $c$ tal que: $f\left(c\right)=0$

Ejemplo 1

La raiz de la función $f\left(x\right) = 3x-4$ es $x=\frac{4}{3}$

Ejemplo 2

Los ceros de la función $f\left(x\right) = x^2 -x -6$ son $x=3$ y $x=-2$

Búsqueda de "raíces" de una función

Definicón

Las raíces o ceros de una función $f$ son aquellos valores $c$ tal que: $f\left(c\right)=0$

Ejemplo 1

La raiz de la función $f\left(x\right) = 3x-4$ es $x=\frac{4}{3}$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.arange(0,2,0.01)
f_x = 3*x-4
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x, f_x)
plt.grid(True)
plt.show()

Búsqueda de "raíces" de una función

Definicón

Las raíces o ceros de una función $f$ son aquellos valores $c$ tal que: $f\left(c\right)=0$

Ejemplo 1

La raiz de la función $f\left(x\right) = 3x-4$ es $x=\frac{4}{3}$

Búsqueda de "raíces" de una función

Definicón

Las raíces o ceros de una función $f$ son aquellos valores $c$ tal que: $f\left(c\right)=0$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t = np.arange(-3,4, 0.01)
f_t = (t**2)-(t)-6

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(t, f_t)
plt.grid(True)
plt.show()

Ejemplo 2

Los ceros de la función $f\left(x\right) = x^2 -x -6$ son $x=3$ y $x=-2$

Búsqueda de "raíces" de una función

Definicón

Las raíces o ceros de una función $f$ son aquellos valores $c$ tal que: $f\left(c\right)=0$

Ejemplo 2

Los ceros de la función $f\left(x\right) = x^2 -x -6$ son $x=3$ y $x=-2$

Que pasa con funciones más complejas

En muchas ecuaciones en ciencias e ingeniería, en las cuales no es posible aplicar un procedimiento para despejar la incógnita.

$f(x) = x - $cos\left(x\right)$
$f\left(x\right) = e^{-x} - sin\left(x\right)$

$f\left(x\right) = x - tan\left(x\right)$
$f\left(x\right) = e^{x} - x$

Soluciones de ecuaciones de una variable

A menudo, el crecimiento de una población se puede modelar sobre periodos breves al asumir que aumenta de manera continua con el tiempo a una tasa proporcional al número actual en ese momento. Suponga que $N\left(t\right)$ denota el número en la población en el tiempo t y λ denota la tasa constante de natalidad. Entonces, dicha población satisface la ecuación diferencial:

\[\frac{d N\left(t\right)}{dt}=\lambda N\left(t\right)\]

Cuya solución es $N\left(t\right)=N_0 e^{\lambda t}$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N_o = 1e6
l_i = 0.5

t = np.arange(0,10,0.01)
N_t = N_o*np.exp(l_i*t)

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(t, N_t)
plt.show()

Soluciones de ecuaciones de una variable

\[\frac{d N\left(t\right)}{dt}=\lambda N\left(t\right)\]

Cuya solución es $N\left(t\right)=N_0 e^{\lambda t}$

Soluciones de ecuaciones de una variable

Suponga que….

Suponga que, en un inicio, cierta población contiene $N\left(0\right)=1000000$ individuos, que $\upsilon=435000$ individuos inmigran a la comunidad durante el primer año y que existen N(1)=1564000 al finalizar el año. SI deseamos determinar el la tasa de natalidad $\lambda$ se requiere encontrar las raíces de

\[1564000 = 1000000e^{\lambda} + \frac{435000}{\lambda}\left(e^{\lambda}-1\right)\]

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

lam = np.arange(0,0.2,0.0001)

def f(l):
    return 1000000*np.exp(l) + ((435000)/(l)*((np.exp(l))-1)) - 1564000

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(lam, f(lam))
ax.grid(True)
plt.show()

Soluciones de ecuaciones de una variable

Suponga que….

\[1564000 = 1000000e^{\lambda} + \frac{435000}{\lambda}\left(e^{\lambda}-1\right)\]

Método de la bisección

def met_bisectriz(a,b,tol,g,No):
    i = 0
    FA = g(a)
    while i <= No:
        p = a+ ((b-a)/2)

        FP = g(p)
        if (FP==0) or (((b-a)/2)<tol):
            print("Lo logré, raíz en:", p, FP)
            return p,i
            break
        i=i+1
        if FA*FP > 0:
            a=p
            FA=FP
        else:
            b=p
    print("Termine: ", i)

Método de Regula-Falsi

def met_regula_falsi(a,b,tol,g,No):
    i = 0
    FA = g(a)
    FB = g(b)
    while i <= No:
        p = a - ((FA*(b-a))/(FB-FA))
        FP = g(p)
        if (FP==0) or (((b-a)/2)<tol):
            #print("Lo logré, raíz en:", p, FP)
            return p,i
            break
        i=i+1
        if FA*FP > 0:
            a=p
            FA=FP
        else:
            b=p
            FB=FP
    print("Termine: ", i)

Método de Newton-Raphson

Taller

Pregunta 1/2

Dada la función $f\left(x\right) = 8 sin\left(x\right) e^{-x} - 1$ responda las siguientes cuestiones:

Si se sabe que $x \in \left[0,3\right]$, encuentre una raíz de la función. ¿Es utilizable el método de la bisección en el cálculo de la raíz?
Aplique Newton-Raphson para dos posibles valores iniciales: -5, 10. Cual es el resultado de la operación. Explique su resultado.

Taller

Pregunta 2/2

La velocidad de un para caídista esta dada por la siguiente función:

\[v=\frac{gm}{c}\left(1 - e^{-\frac{c}{m}t}\right)\]

Sea la gravedad $g=9.8$, el coeficiente de rozamiento $c=14Kg/s$, responda:

Cuál es el peso del paracaidista si se sabe que a los 7sg la velocidad de este era de $35m/s$ ?
Utilizando una calculadora de gravedad, determine la gravedad real, si el experimento se hace en la ciudad de Popayán, vuelva a determinar la masa del paracaidista. Explique la discrepancia.

Interpolación

Problema

Problema

Una empresa inmobiliaria tiene 4 terrenos a la venta. La relación entre precio y área se puede observar en la siguiente tabla:

Area	Precio
0.8	10000
2.3	15000
4.7	40000
7.1	80000

Problema

Problema

¿Cuánto debe valer un terreno de 3.5ha, si el precio del terreno sigue las mismas condiciones de los anteriores?

Enfoque exacto:

Polinomios de Lagrange
Polinomio de Newton

Enfoque por Ajustes sucesivos:

Trazadores cúbicos.
Mínimos cuadrados.

Polinomios de Lagrange

Interpolación polinomial

A partir de unos datos $\left(x_0,y_0\right),\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right),\dots,\left(x_n,y_n\right)$ generar un polinomio $\left( P\left(x\right) \right)$ (del menor grado posible) que pase por todos los puntos.

\[P\left(x\right) = a_0 + a_1x + a_2x^2+\dots+a_nx^n\]

Polinomios de Lagrange

Algoritmo

Determinar un polinomios $\gamma_i \left(x\right)$, que pase por $\left(x_i,1\right)$ y se anule para el resto de datos. \[\gamma_i\left(x\right) = \prod_{j=0}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}\]

Donde $i \neq j$

Determinar polinomio $P_i\left(x\right)$

\[P_i\left(x\right) = y_i \gamma_i\left(x\right)\]

Determinar polinomio $P\left(x\right)$

\[P\left(x\right) = \sum_{i=0}^{n}P_i\left(x\right)\]

Análisis Numérico

Análisis Numérico

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Bibliografía

Introducción al análisis numérico

Errores y aproximaciones

Errores y aproximaciones

Errores y aproximaciones

Error Absoluto

Error relativo

Error de aproximación

Cifras significativas

Cifras significativas

Cifras significativas

Que pasa en los computadores?

Ejemplos de conversión de IEEE 754 a decimal

Ejemplos de conversión de IEEE 754 a decimal

Ejemplos de conversión de IEEE 754 a decimal

Ejemplos de conversión de IEEE 754 a decimal

Los números "más grande" y "más pequeño"

Error de truncamiento

Error de truncamiento

Ejemplo de Error de truncamiento

Ejemplo de Error de truncamiento

Ejemplo de Error de truncamiento

Ejemplo de Error de truncamiento

Ejemplo de Error de truncamiento

Error de redondeo

Error de redondeo

Error de redondeo

Búsqueda de "raíces" de una función

Búsqueda de "raíces" de una función

Búsqueda de "raíces" de una función

Búsqueda de "raíces" de una función

Búsqueda de "raíces" de una función

Que pasa con funciones más complejas

Soluciones de ecuaciones de una variable

Soluciones de ecuaciones de una variable

Soluciones de ecuaciones de una variable

Soluciones de ecuaciones de una variable

Método de la bisección

Método de la bisección

Método de Regula-Falsi

Método de Regula-Falsi

Método de Newton-Raphson

Taller

Taller

Interpolación

Problema

Problema

Polinomios de Lagrange

Polinomios de Lagrange

Solución al problema